[2017년 백마고]

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[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

함수 [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 -3x+1] 위의 점 [eqn: (1,```-4)]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=px+q]일 때, 상수 [eqn: a+p+q]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: p], [eqn: q]는 상수이다.) [4.0점]

①

① [eqn: -7]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 1]

정적분 [eqn: int _{-1} ^{2} {} |3x ^{2} -12x|dx]의 값은? [4.0점]

③

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

함수 [eqn: f(x) = -x^3 -5x^2 +3]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [-1,```2]]에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 [eqn: c]의 값은? [4.1점]

②

① [eqn: 0]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 2]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 임의의 점 [eqn: {rmP}(x,```y)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: -3x^2 +3]이고 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값이 [eqn: 1]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은? [4.1점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x(t)]가
[eqn: x(t)= 1over3 t^3 - 3over2 t^2 -6t]이다. [eqn: t>0]에서 점 [eqn: rmP]의 속도가 [eqn: 4]인 순간,
점 [eqn: rmP]의 가속도는? [4.2점]

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

극한값 [eqn: lim_x->3 1over x-3 int_3^x (t^2 -2t+a)dt =2]일 때, [eqn: a]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

다음 조건을 모두 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여, [eqn: f(-2)]의 값은? [4.3점]

①

[eqn: int f(x) dx = x f(x) -2x^3 +4x^2 ,~f(1) =0]

① [eqn: 33]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 37]

④ [eqn: 39]	⑤ [eqn: 41]

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: 2x ^{3} -3x ^{2} -12x-n=0]이 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은? [4.3점]

④

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

구간 [eqn: [-3,```3]]에서 함수 [eqn: f(x) = x^3 -3x+2]의 최댓값과 최솟값이 [eqn: M], [eqn: m]일 때, [eqn: M+m]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: 4]	② [eqn: 9 over 2]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 11 over 2]	⑤ [eqn: 6]

실수 전체에서 정의된 연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x) = f(x+2)]를 만족하고, [eqn: f(x)= {cases{-x+1&(0 le x<1)#x ^{2} -2x+1&(1 le x le 2)}}]일 때, [eqn: int_-1 ^23 f(x) dx]의 값은? [4.4점]

⑤

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

수직선 도로 위의 원점에서 동시에 출발하는 두 물체 [eqn: A], [eqn: B]가 있다. 그림은 시각 [eqn: t(0 le t lec)]에서 물체 [eqn: A]의 속도 [eqn: f(t)]와 물체 [eqn: B]의 속도 [eqn: g(t)]를 나타낸 것이다.

[eqn: int_0^c f(t) dt = int _0^c g(t)dt]이고 [eqn: 0 le t lec]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.4점]

④

ㄱ. [eqn: t=a]일 때, 물체 [eqn: A]는 물체 [eqn: B]보다 앞에 있다.

ㄴ. [eqn: t=b]일 때, 물체 [eqn: A]와 물체 [eqn: B] 사이 거리의 차가

최대이다.

ㄷ. [eqn: t=c]일 때, 물체 [eqn: A]와 물체 [eqn: B]는 만난다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 삼차함수 [eqn: f(x) = x^3 -3ax+b]일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

⑤

ㄱ. [eqn: f(2 root a ) = f ( - root a )]

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은 [eqn: 2a roota +b]이다.

ㄷ. [eqn: 0 <a < 1over 4]일 때, 닫힌 구간 [eqn: [-1,```1]]에서

함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: f(1)]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

아래 그림과 같이 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: 3]차 다항함수 [eqn: f(x)]와 직선 [eqn: y=2]과 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0], [eqn: alpha], [eqn: 3]이고, 함수 [eqn: f(x)]와 직선 [eqn: y=2]로 둘러싸인 영역의 넓이를 [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}]라고 하자. [eqn: S_1 - S_2]의 값을 [eqn: S( alpha )]라고 하면, [eqn: S`'(2)]의 값은? (단, [eqn: 0<alpha <3]이다.) [4.0점]

④

① [eqn: - 11over3]	② [eqn: - 9 over 2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 9 over 2]	⑤ [eqn: 11 over 3]

중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 제[eqn: 1]사분면 위의 사분원에 대하여, [eqn: rmA(2,```0)], [eqn: rmB(0,```2)]이라 하자. 또한, 선분 [eqn: bar{rmOA}]를 [eqn: n]등분한 점을 각각 [eqn: rmA_1], [eqn: rmA_2], [eqn: cdots], [eqn: {rmA}_n]이라 하고, [eqn: 1 le k le n]을 만족하는 [eqn: k]에 대하여 점 [eqn: {rmA}_k]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 사분원과 만나는 점을 [eqn: {rmC} _{k}]라 하자. 이때, 삼각형 [eqn: TRIANGLE {rmA} _{k} {rmBC} _{k}]의 넓이를 [eqn: S(k)]라 하면, [eqn: lim_n->inf 15 over n sum_k=1 ^n left{S(k) right}^2]의 값은? [4.7점]

②

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

실수 [eqn: k]에 대하여 직선 [eqn: x=k]가 두 함수 [eqn: y=2x+1],
[eqn: y= x^3 -8x^2 +21x-11]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라
할 때 [eqn: bar {rmPQ]의 길이를 [eqn: f(k)]라 하자.
[eqn: lim_h->0+ {f(k+h)- f(k)}over h times lim_h->0- {f(k+h)- f(k)}over h le0]
을 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 곱은? [4.8점]

③

① [eqn: 72]	② [eqn: 74]	③ [eqn: 76]

④ [eqn: 78]	⑤ [eqn: 80]

[eqn: 3]차 다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족할 때, [eqn: x], [eqn: y]축과 [eqn: f(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4.9점]

③

(가)  [eqn: lim_x->2 left{(x-2) {f`'(x) } over{f(x)} right} =3]

(나)  [eqn: f(3)=1]

① [eqn: 1]	② [eqn: 13 over 4]	③ 4

④ [eqn: 16 over 3]	⑤ [eqn: 8]

서술형

삼차함수 [eqn: f(x) = -x^3 -3x^2 +ax]의 역함수가 존재하도록 하는 상수 [eqn: a]의 최대 정수를 구하시오. [7.0점]

[eqn: -3]

삼차함수 [eqn: f(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: f(x) +g(x)]의 극댓값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [8.0점]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x) = - f(x)]

(나) 함수 [eqn: g(x) = f(x) -6x]은 [eqn: x=-1]에서 극솟값

[eqn: 3]을 갖는다.

[eqn: {2root3} over3]

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 등식을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]를 구하시오. [7.0점]

[eqn: 3x^2 -4x]

[eqn: f(x) = 3x^2 + 4x int_0 ^1 f`'(x) dx]

수직선 위에서 좌표가 [eqn: 2]인 점을 출발하여 움직이는 어떤 물체의 시각 [eqn: t]일 때의 속도는 [eqn: v(t) = -4t+6]이다. 다음 물음에 대하여 서술하시오. [8.0점]

(1) [eqn: 4]  (2) [eqn: 6], [eqn: -6]  (3) [eqn: 29]

(1) [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 이 물체의 위치의 변화량을 구하는

과정을 서술하시오. [2.0점]

(2) [eqn: t=1], [eqn: t=4]일 때의 이 물체의 위치를 구하는 과정을

서술하시오. [3.0점]

(3) [eqn: t=0]에서 [eqn: t=5]까지 이 물체의 이동 거리를 구하는

과정을 서술하시오. [3.0점]

[2017년 백마고]

[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

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